Mathématiques de base Exemples

$93000 = 3200 ((\frac{{(1 + 0.04)}^{n + 1} - 1}{0.04}) - 1)$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $3200 (\frac{{(1 + 0.04)}^{n + 1} - 1}{0.04} - 1) = 93000$ .

$3200 (\frac{{(1 + 0.04)}^{n + 1} - 1}{0.04} - 1) = 93000$

Étape 2

Additionnez $1$ et $0.04$ .

$3200 (\frac{{1.04}^{n + 1} - 1}{0.04} - 1) = 93000$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $3200 (\frac{{1.04}^{n + 1} - 1}{0.04} - 1) = 93000$ par $3200$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $3200 (\frac{{1.04}^{n + 1} - 1}{0.04} - 1) = 93000$ par $3200$ .

$\frac{3200 (\frac{{1.04}^{n + 1} - 1}{0.04} - 1)}{3200} = \frac{93000}{3200}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $3200$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3200 (\frac{{1.04}^{n + 1} - 1}{0.04} - 1)}{3200} = \frac{93000}{3200}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $\frac{{1.04}^{n + 1} - 1}{0.04} - 1$ par $1$ .

$\frac{{1.04}^{n + 1} - 1}{0.04} - 1 = \frac{93000}{3200}$

Étape 3.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{1 \cdot {1.04}^{n + 1} - 1}{0.04} - 1 = \frac{93000}{3200}$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $1 (- 1)$ .

$\frac{1 \cdot {1.04}^{n + 1} + 1 (- 1)}{0.04} - 1 = \frac{93000}{3200}$

Étape 3.2.2.3

Factorisez $1$ à partir de $1 \cdot {1.04}^{n + 1} + 1 (- 1)$ .

$\frac{1 \cdot ({1.04}^{n + 1} - 1)}{0.04} - 1 = \frac{93000}{3200}$

Étape 3.2.2.4

Factorisez $0.04$ à partir de $0.04$ .

$\frac{1 \cdot ({1.04}^{n + 1} - 1)}{0.04 (1)} - 1 = \frac{93000}{3200}$

Étape 3.2.2.5

Séparez les fractions.

$\frac{1}{0.04} \cdot \frac{{1.04}^{n + 1} - 1}{1} - 1 = \frac{93000}{3200}$

Étape 3.2.2.6

Divisez $1$ par $0.04$ .

$25 \frac{{1.04}^{n + 1} - 1}{1} - 1 = \frac{93000}{3200}$

Étape 3.2.2.7

Divisez ${1.04}^{n + 1} - 1$ par $1$ .

$25 ({1.04}^{n + 1} - 1) - 1 = \frac{93000}{3200}$

Étape 3.2.2.8

Appliquez la propriété distributive.

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} + 25 \cdot - 1 - 1 = \frac{93000}{3200}$

Étape 3.2.2.9

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} - 25 - 1 = \frac{93000}{3200}$

Étape 3.2.3

Soustrayez $1$ de $- 25$ .

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} - 26 = \frac{93000}{3200}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun à $93000$ et $3200$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Factorisez $200$ à partir de $93000$ .

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} - 26 = \frac{200 (465)}{3200}$

Étape 3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.2.1

Factorisez $200$ à partir de $3200$ .

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} - 26 = \frac{200 \cdot 465}{200 \cdot 16}$

Étape 3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} - 26 = \frac{200 \cdot 465}{200 \cdot 16}$

Étape 3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} - 26 = \frac{465}{16}$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $n$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Ajoutez $26$ aux deux côtés de l’équation.

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} = \frac{465}{16} + 26$

Étape 4.2

Pour écrire $26$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} = \frac{465}{16} + 26 \cdot \frac{16}{16}$

Étape 4.3

Associez $26$ et $\frac{16}{16}$ .

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} = \frac{465}{16} + \frac{26 \cdot 16}{16}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} = \frac{465 + 26 \cdot 16}{16}$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Multipliez $26$ par $16$ .

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} = \frac{465 + 416}{16}$

Étape 4.5.2

Additionnez $465$ et $416$ .

$25 \cdot {1.04}^{n + 1} = \frac{881}{16}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $25 \cdot {1.04}^{n + 1} = \frac{881}{16}$ par $25$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $25 \cdot {1.04}^{n + 1} = \frac{881}{16}$ par $25$ .

$\frac{25 \cdot {1.04}^{n + 1}}{25} = \frac{\frac{881}{16}}{25}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 \cdot {1.04}^{n + 1}}{25} = \frac{\frac{881}{16}}{25}$

Étape 5.2.1.2

Divisez ${1.04}^{n + 1}$ par $1$ .

${1.04}^{n + 1} = \frac{\frac{881}{16}}{25}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

${1.04}^{n + 1} = \frac{881}{16} \cdot \frac{1}{25}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{881}{16} \cdot \frac{1}{25}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Multipliez $\frac{881}{16}$ par $\frac{1}{25}$ .

${1.04}^{n + 1} = \frac{881}{16 \cdot 25}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $16$ par $25$ .

${1.04}^{n + 1} = \frac{881}{400}$

Étape 6

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({1.04}^{n + 1}) = \ln (\frac{881}{400})$

Étape 7

Développez $\ln ({1.04}^{n + 1})$ en déplaçant $n + 1$ hors du logarithme.

$(n + 1) \ln (1.04) = \ln (\frac{881}{400})$

Étape 8

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez $(n + 1) \ln (1.04)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$n \ln (1.04) + 1 \ln (1.04) = \ln (\frac{881}{400})$

Étape 8.1.2

Multipliez $\ln (1.04)$ par $1$ .

$n \ln (1.04) + \ln (1.04) = \ln (\frac{881}{400})$

Étape 9

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$n \ln (1.04) + \ln (1.04) - \ln (\frac{881}{400}) = 0$

Étape 10

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$n \ln (1.04) + \ln (\frac{1.04}{\frac{881}{400}}) = 0$

Étape 11

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$n \ln (1.04) + \ln (1.04 (\frac{400}{881})) = 0$

Étape 11.2

Multipliez $1.04 (\frac{400}{881})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Associez $1.04$ et $\frac{400}{881}$ .

$n \ln (1.04) + \ln (\frac{1.04 \cdot 400}{881}) = 0$

Étape 11.2.2

Multipliez $1.04$ par $400$ .

$n \ln (1.04) + \ln (\frac{416}{881}) = 0$

Étape 11.3

Annulez le facteur commun à $416$ et $881$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Réécrivez $416$ comme $1 (416)$ .

$n \ln (1.04) + \ln (\frac{1 (416)}{881}) = 0$

Étape 11.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.2.1

Réécrivez $881$ comme $1 (881)$ .

$n \ln (1.04) + \ln (\frac{1 \cdot 416}{1 \cdot 881}) = 0$

Étape 11.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$n \ln (1.04) + \ln (\frac{1 \cdot 416}{1 \cdot 881}) = 0$

Étape 11.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$n \ln (1.04) + \ln (\frac{416}{881}) = 0$

Étape 12

Soustrayez $\ln (\frac{416}{881})$ des deux côtés de l’équation.

$n \ln (1.04) = - \ln (\frac{416}{881})$

Étape 13

Divisez chaque terme dans $n \ln (1.04) = - \ln (\frac{416}{881})$ par $\ln (1.04)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Divisez chaque terme dans $n \ln (1.04) = - \ln (\frac{416}{881})$ par $\ln (1.04)$ .

$\frac{n \ln (1.04)}{\ln (1.04)} = \frac{- \ln (\frac{416}{881})}{\ln (1.04)}$

Étape 13.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (1.04)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{n \ln (1.04)}{\ln (1.04)} = \frac{- \ln (\frac{416}{881})}{\ln (1.04)}$

Étape 13.2.1.2

Divisez $n$ par $1$ .

$n = \frac{- \ln (\frac{416}{881})}{\ln (1.04)}$

Étape 13.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$n = - \frac{\ln (\frac{416}{881})}{\ln (1.04)}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$n = - \frac{\ln (\frac{416}{881})}{\ln (1.04)}$

Forme décimale :

$n = 19.13204287 \dots$